06/C243

 

Temas de Geometría y Mecánica Geométrica

Topics of Geometry and Geometric Mechanics

 

Director: FERNANDEZ, Javier

Correo electrónico: jfernand@ib.edu.ar

 

Co-Director: GRILLO, Sergio

 

Integrantes: CAPRIOTTI, Santiago; PEREZ, Diego; TORI, Cora Inés

 

Resumen Técnico: Este proyecto consiste de dos subproyectos cuyo tema común es la geometría. (a) Teoría de Hodge. Las variaciones infinitesimales de estructura de Hodge fueron introducidas por P. Griffiths et al. como linealización de las variaciones de estructuras de Hodge. Usando técnicas asintóticas para describir una variación de estructura de Hodge localmente cerca de una singularidad se estudiará la posibilidad de dar una buena definición de variación infinitesimal en una singularidad. Provistos de tal definición se estudiarán algunas de sus propiedades. El objetivo de este estudio es poder complementar resultados obtenidos mediante variaciones infinitesimales de estructura de Hodge en puntos regulares. (b) Mecánica Geométrica.  En este subproyecto investigaremos diversos aspectos de los sistemas mecánicos con ligaduras. Los problemas que abordaremos son: i. Control de servomecanismos. Estudiaremos el diseño de estrategias de control basadas en la imposición de vínculos, y en particular de vínculos de orden superior (i.e. vínculos que involucran las derivadas de orden arbitrario en la posición del sistema). Lo haremos principalmente con dos objetivos. Uno de ellos es lograr señales de control acotadas, y el otro está relacionado con el problema de estabilización de servomecanismos, asegurando la existencia de una función de Lyapunov. ii. Integración numérica. Estudiaremos el proceso de reducción y reconstrucción de sistemas mecánicos discretos con vínculos no holónomos en presencia de simetrías y el diseño de integradores variacionales para estos casos. iii. Sistemas diferenciales exteriores y sistemas con vínculos. Se estudiarán las ecuaciones canónicas de la teoría de campo que describe una partícula de spin 1 y un campo electromagnético en interacción, con el objetivo de extender el método de desingularización de sistemas diferenciales algebraicos al caso en que la parte diferencial involucra derivadas parciales.

 

Summary: This project consists of two sub-projects with the common theme of Geometry. (a) Hodge Theory. The notion of infinitesimal variation of Hodge structure was introduced by P. Griffiths et al as the lirearization of a variation of Hodge structure. The feasibility of giving a good definition of an infinitesimal variation of Hodge structure at the singular point will be explored using asymptotic techniques to describe the local behavior of a variation of Hodge structure near a singular point. Once such a definition is available, some of its basic properties will be studied. The goal of this study is to be able to complement properties obtained by considering infinitesimal variations of Hodge structure at regular points. (b) Geometric Mechanics. In this sub-project we shall investigate different aspects of mechanical systems with constraints. We will concentrate in the following problems: i. Control of servomechanisms. We shall study the design of control strategies based upon the imposition of constraints, and in particular of higher order constraints. We have two main objectives. One of them is to construct bounded control signals, and the other is related with the problem of stabilization of servomechanisms, by ensuring the existence of a Lyapunov function. ii. Numerical integration. We will study the process of reduction and recosntruction of discrete mechanical systems with nonholonomic constraints in the presence of symmetries. Also, we will design variational integrators for this kind of systems. iii Exterior differential systems and systems with constraints. With the purpose of extending the desingularization  method from algebraic differential systems to systems involving derivatives we will study the canonical equations of the field theory that describes a spin-1 particle and the electomagnetic field in interaction.