06/C188

 

Temas de geometría y mecánica geométrica

Topics of geometry and geometric mechanics

 

Director: FERNANDEZ, Javier

E-mail: jfernand@cab.cnea.gov.ar

 

Co-Director: GRILLO, Sergio Daniel

 

Integrantes: TORI, Cora Inés

 

Resumen Técnico

Este proyecto consiste de dos subproyectos cuyo tema común es la geometría.

(a) Teoría de Hodge. Un problema importante en teoría de Hodge es el estudio de ciertas subvariedades integrales del sistema diferencial exterior de Griffiths (variaciones de estructura de Hodge) que provienen de la geomtría. Una versión infinitesimal de este problema es el estudio de los elementos integrales del sistema de Griffiths (variaciones infinitesimales de estructura de Hodge) de origen geométrico. Recientemente se ha demostrado que las variaciones infinitesimales que provienen de hipersuperficies genéricas en el espacio proyectivo no son genéricas (es decir, son una subvariedad propia de la Grassmaninana que las contiene). Este proyecto busca estudiar la validez de este resultado en contextos más generales (por ejemplo, hipersuperficies en variedades tóricas) y, eventualmente, aportar elementos a la conjetura que afirma que las variaciones infinitesimales que provienen de la geometría son no genéricas. Paralelamente se busca estudiar la validez de teoremas infinitesimales de Torelli en el contexto tórico.

(b) Mecánica Geométrica. La presencia de simetrías en un sistema dinámico permite reducir el número de ecuaciones que describen al mismo y, eventualmente, resolverlas en forma completa. Esto puede ser realizado en sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos mediante el proceso de reducción simpléctica, o mediante su versión variacional. Desafortunadamente, estos métodos sólo son aplicables a sistemas con vínculos holónomos, y a una subclase de los no holónomos que satisfacen el principio de D´Alembert. En este trabajo se pretende extender los métodos antedichos a una clase más amplia de sistemas, que hemos dado en llamar no D´Alembertianos. Ejemplos importantes de los últimos están dados por ciertos problemas de control y de robótica. Por otro lado, hemos visto recientemente que las ecuaciones de movimiento de los sistemas no D´Alembertianos no pueden derivarse de un corchete de Poisson, como en el caso de sistemas holónomos, sino de estructuras más generales, que reciben el nombre de corchetes de Leibniz. A este respecto, se pretende tambien estudiar la posibilidad de usar estas estructuras para dar una caracterización conveniente de la propiedad de integrabilidad para estos sistemas, análoga a la que se tiene en los sistemas holónomos en términos del corchete de Poisson.

Es sabido que la resolución numérica de problemas mecánicos se beneficia mediante el uso de algoritmos que preserven estructuras propias del problema en consideración. La geometría permite describir varias de estas estructuras (energía, simetrías, etc.) y diseñar algoritmos que preserven algunas de ellas. La teoría para sistemas sin vínculos o con vínculos holónomos está bastante establecida, no siendo la misma la situación para el caso de vínculos no holónomos. Se pretende, entonces, estudiar integradores numéricos de origen geométrico que puedan tratar problemas con vínculos no holónomos.

 

Summary

This project consists of two sub-projects with the common theme of Geometry.

(a) Hodge theory. The study of certain integral submanifolds of Griffiths' system (variations of Hodge structure) that arise from geometry is an important problem in Hodge theory. An infinitesimal version of this problem asks which integral elements of Griffiths' system (infinitesimal variations of Hodge structure) arise from geometry. Recently it was shown that the infinitesimal variations that come from generic hypersurfaces in projective space are non-generic (that is, they form a proper subvariety of a certain Grassmainian). The purpose of this project is to study if this result holds for more general varieties (for instance, for hypersurfaces in toric varieties) and, eventually, provide more examples supporting the conjecture that states that the infinitesimal variations of Hodge structure that arise from geometry are non-generic. A parallel goal is the study of infinitesimal Torelli theorems

(b) Geometric Mechanics. Symmetries of a dynamical system lead to a reduction of the number of equations describing the system and, eventually, to their complete integrability. This can be done for Lagrangian and Hamiltonian systems via the so called symplectic and varitational reductions. Unfortunately, these methods are only applicable to holonomic systems, and a subclass of the non-holonomic ones that satisfy D´Alembert´s principle. In this work we look for the extension of above methods to a bigger class of systems that we have called non D´Alembertian mechanical systems. Important examples of the latter appear in automatic control theory and robotics. On the other hand, we have reciently seen that equations of motions of non D´Alembertian systems can not be derived from a Poisson bracket, as in the case of holonomic systems, but from more general structures known as Leibniz brackets. In this direction, we also want to study the possibility of using this last type of bracket to give a convenient characterizaction of integrability, in analogy to the holonomic case, in terms of Poisson bracket.

It is well known that the numerical solution of mechanical problems benefitsfrom using alorithms that inherently preserve the natural structure of the problem. Geometry describes these structures (energy, symmetries, etc.) and so can be used to design algorithms that preserve some of them. In he case of systems without constraints or with holonomic constraints there is a fairly well established theory; the case of non-holonomic constraints is not so well understood. The goal is, then, to study numerical integrators based in geometry and capable of working efficiently with non-holonomic constraints.