06/M024

Estructuras Celulares en Espacios Topológicos, Ecuaciones Diferenciales y Polinomios Ortogonales Matriciales.
Cellular structures in topological spaces, matrix differential equations and matrix orthogonal polynomials.

Director: SIMONDI, Sebastián
Correo Electrónico: ssimondi@uncu.edu.ar

Co-Director: OTTINA, Enzo Miguel

Integrantes: NODARO, Verónica Noemí; BRIONES, Nimsi Boseth.

Resumen Técnico: Continuaremos y completaremos el desarrollo de la teoría de CW(A)-complejos que fue comenzado en la tesis doctoral de Ottina. Como ya se ha visto allí, la teoría de CW(A)-complejos, además de ser interesante en sí misma, permite estudiar a los CW-complejos desde una perspectiva diferente y entenderlos en mayor profundidad. Analizaremos la existencia de CW(A)-aproximaciones de espacios topológicos, es decir, estudiaremos para qué espacios topológicos X existe un CW(A)-complejo Z junto con una función continua de Z a X que induzca isomorfismos en los grupos de A-homotopía. Se espera que esto dé lugar a un funtor de A-celularización en la categoría de espacios topológicos. Además, intentaremos dar una estructura de categoría de modelos de Quillen a la categoría de espacios topológicos, de forma tal que sus objetos cofibrantes coincidan con los CW(A)-complejos. Esto servirá para entender a los CW(A)-complejos desde un punto de vista categórico. También continuaremos con el desarrollo de la teoría de obstrucciones para CW(A)-complejos y de la A-homología estudiando sus propiedades y buscando relacionarlos con la teoría clásica. Por otra parte, seguiremos con el desarrollo de la teoría de las funciones hipergeométricas matriciales, generalizando los resultados de la teoría clásica, comenzando con las funciones matriciales de Kummer y de Gauss. Nos proponemos también hallar todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales hipergeométricas matriciales generalizadas, alrededor de su punto singular regular infinito, y estudiar el caso no homogéneo. Además, trataremos de encontrar la relación de recurrencia de tres términos y la fórmula de Rodríguez para los polinomios matriciales asociados a los pesos de Laguerre para matrices 3x3, recientemente calculados. También intentaremos determinar los pesos matriciales de Laguerre para matrices 4x4 para calcular las familias de polinomios ortogonales asociados y trataremos de hallar algunos ejemplos de operadores diferenciales a derecha, que tengan a estas familias como autofunciones con autovalores matriciales.

Summary: We will continue and complete the development of the theory of CW(A)-complexes that has been started in Ottina's PhD thesis. As it is shown there, the theory of CW(A)-complexes, besides being interesting by itself, allows one to study CW-complexes from a different point of view and understand them deeply. We will analyse the existence of CW(A)-approximations of topological spaces, that is, we will study for which topological spaces X there exist a CW(A)-complex Z together with a continuous map from Z to X which induces isomorphisms in the A-homotopy groups. We expect that this will give rise to an A-cellularization functor in the category of topological spaces. Moreover, we will try to give a Quillen’s model category structure to the category of topological spaces in such a way that its cofibrant objects coincide with CW(A)-complexes. This will allow us to understand CW(A)-complexes from a categorical viewpoint. We will also continue developing the obstruction theory for CW(A)-complexes and the A-homology, studying its properties and aiming to relate them to the classical theory. On the other hand, we will continue with the development of the theory of matrix hypergeometric functions, generalizing the results of the classical theory, beginning with Kummer’s and Gauss’ matrix functions. We also aim to find all the solutions of the generalized hypergeometric matrix differential equations near their regular singular point at infinity and to study the non-homogeneous case. Moreover, we will try to find the three-term recurrence relation and the Rodríguez formula for the matrix polynomials associated to the Laguerre weights for 3x3 matrices. We will also attempt to determine the Laguerre weights for 4x4 matrices in order to compute the families of associated orthogonal polynomials and we will try to find some examples of right differential operators which have the functions of these families as eigenfunctions with matrix eigenvalues.